สมการ Involute curve
Xt = r*cos(t)+ (r*t*sin(t))
Yt = r*sin(t)- (r*t*cos(t))
r = radius of Base circle
t = มุมเป็น radian, โดย t = 0 < > 1.57
เมื่อเห็นสมการแล้วก็น่าจะดูที่มาที่ไปซะหน่อย
Involute curve เกิดจากทฤษฎีของความเป็นจริงที่ว่า หากดึงปลายเชือกที่พันรอบวัตถุทรงกลม ดึงให้ตึง แล้ววนออก ที่แนวดึง ณ.มุมต่างๆ หากเรามาร์คจุดตรงปลายเชือกไว้ จะปรากฏเป็นแนวโค้ง และเมื่อลากต่อจุดต่างๆ ก็จะเกิดเป็น curve ซึ่งเรียกว่า Involute curve
จากนั้นก็ได้มีการคิดค้นทางคณิตศาสตร์ เพื่อหาสมการมาใช้คำนวณแทนการดึงเชือก จึงได้สมการตามที่กล่าวมาแล้ว บางท่านคงมีคำถาม มันมาได้อย่างไง
วงกลมในภาพแทน Base circle เขาได้สร้างสูตรหาตำแหน่งจุด coordinate ต่างๆของ Xc,Yc ที่เคลื่อนตัวไป โดยทำให้ Xc,Yc ผูกโยงกับ radius และความยาวเส้นรอบวงของ Base circle ดังนี้
---กำหนดให้จุด X,Y เคลื่อนตัวตามเส้นรอบวงของ base circle เมื่อมุม t เปลี่ยน
---มุม t จะเปลี่ยนแปลงจาก 0 ถึง 90 องศา ส่งผลให้ความยาว L1,L2 หดสั้นลงหรือยาวขึ้น ก็จะได้จุด Xc,Yc เคลื่อนเป็นแนวโค้ง งั้นลองทบทวนเรขาคณิตกัน
ดูสามเหลี่ยมแนวตั้ง หา coordinate X,Y
cos(t) = X/r, X = r*cos(t)
sin(t) = Y/r Y = r*sin(t)
ดูสามเหลี่ยมตัวนอน เราจะหา coordinate Xc,Yc
Xc = X + L2,
Yc = Y - L4
หา Xc
L2 = L1*sin(t), (L1 = L3 จากความจริงของเชือก ที่ดึงให้ตึง)
L3 = r*(t) จากสูตรหาความยาว Arc ที่มุม (t) radian
ดังนั้น L2 = r*(t)
เพราะฉะนั้น Xc = r*cos(t) + r*(t)*sin(t)
หา Yc
L4 = L1*cos(t) (เช่นเดิม L1 = L3)
= r*(t)*cos(t)
เพราะฉะนั้น Yc = r*sin(t) - r*(t)*cos(t)
t เป็นมุม radian
เพราะฉะนั้น t = 0 = 0 degree
t = 1.57 = 90 degree
สมการ Involute curve เลยเป็นอย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างบน
ขอบคุณมากครับ ที่นำความรู้เชิงเทคนิคมาเผยแพร่
ตอบลบ