นานาสาระ: ธันวาคม 2014

ในบทความที่แล้วได้แสดงวิธิการเขียน spur gear ด้วย Solidworks โดยที่ Involute curve สร้างขึ้นด้วยวิธี manual ล้วนๆ ซึ่งยุ่งยากสับสนเรื่องเส้นตรงต่างๆเอาการ งั้นเรามาลองใช้คำสั่ง " equation driven curve " เขียน involute curve ง่ายนิดเดียว

สมการ Involute curve

Xt = r*cos(t)+ (r*t*sin(t))
Yt = r*sin(t)- (r*t*cos(t))
r = radius of Base circle
t = มุมเป็น radian, โดย t = 0 < > 1.57

เมื่อเห็นสมการแล้วก็น่าจะดูที่มาที่ไปซะหน่อย

Involute curve เกิดจากทฤษฎีของความเป็นจริงที่ว่า หากดึงปลายเชือกที่พันรอบวัตถุทรงกลม ดึงให้ตึง แล้ววนออก ที่แนวดึง ณ.มุมต่างๆ หากเรามาร์คจุดตรงปลายเชือกไว้ จะปรากฏเป็นแนวโค้ง และเมื่อลากต่อจุดต่างๆ ก็จะเกิดเป็น curve ซึ่งเรียกว่า Involute curve
จากนั้นก็ได้มีการคิดค้นทางคณิตศาสตร์ เพื่อหาสมการมาใช้คำนวณแทนการดึงเชือก จึงได้สมการตามที่กล่าวมาแล้ว บางท่านคงมีคำถาม มันมาได้อย่างไง

วงกลมในภาพแทน Base circle เขาได้สร้างสูตรหาตำแหน่งจุด coordinate ต่างๆของ Xc,Yc ที่เคลื่อนตัวไป โดยทำให้ Xc,Yc ผูกโยงกับ radius และความยาวเส้นรอบวงของ Base circle ดังนี้

---กำหนดให้จุด X,Y เคลื่อนตัวตามเส้นรอบวงของ base circle เมื่อมุม t เปลี่ยน
---มุม t จะเปลี่ยนแปลงจาก 0 ถึง 90 องศา ส่งผลให้ความยาว L1,L2 หดสั้นลงหรือยาวขึ้น ก็จะได้จุด Xc,Yc เคลื่อนเป็นแนวโค้ง งั้นลองทบทวนเรขาคณิตกัน

ดูสามเหลี่ยมแนวตั้ง หา coordinate X,Y

cos(t) = X/r, X = r*cos(t)
sin(t) = Y/r Y = r*sin(t)

ดูสามเหลี่ยมตัวนอน เราจะหา coordinate Xc,Yc
Xc = X + L2,
Yc = Y - L4
หา Xc

L2 = L1*sin(t), (L1 = L3 จากความจริงของเชือก ที่ดึงให้ตึง)
L3 = r*(t) จากสูตรหาความยาว Arc ที่มุม (t) radian
ดังนั้น L2 = r*(t)
เพราะฉะนั้น Xc = r*cos(t) + r*(t)*sin(t)

หา Yc
L4 = L1*cos(t) (เช่นเดิม L1 = L3)
= r*(t)*cos(t)
เพราะฉะนั้น Yc = r*sin(t) - r*(t)*cos(t)

t เป็นมุม radian
เพราะฉะนั้น t = 0 = 0 degree
t = 1.57 = 90 degree

สมการ Involute curve เลยเป็นอย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างบน

เช่นเคยครับ เขียนวงกลมต่างๆ แล้วก็ไปที่ Tools > sketch entities > equation driven curve แล้วใส่สมการและค่าต่างๆในหน้าต่างซ้ายมือ > คลิก OK ก็จะได้ involute curve เส้นสีน้ำเงิน เริ่มจาก base circle วนออกไปตัดกับ outside circle ขั้นตอนต่อไปก็ขึ้นรูป tooth profile ได้เลย เทคนิคใครเทคนิคมันครับท่าน ตามสบาย//////

วันนี้จะมาแนะนำการเขียนแบบ spur gear มาตรฐานโดย solidworks โดยส่วนตัวแล้วก็ไม่เชี่ยวชาญเรื่องนี้ แต่อาศัยเรียนจากผู้รู้ท่านอื่นๆที่ได้โพสท์ไว้ในเน็ท และจากตำรามาเป็นแนวทาง โดยหลักของ spur gear รูปร่างของซี่ฟัน(tooth profile)จะเป็นส่วนโค้งที่เรียกว่า involute cure

Thank you to Techulator.com for information

คำถามคือ ทำไมต้องเป็น involute curve ด้วย.... ตามหลักวิศวกรรมของ spur gears ได้มีการคำนวณและทดสอบกันมามากมายแล้วว่า หากซี่ฟันมีส่วนโค้งแบบ involute curve จะมีมุมถ่ายแรง( pressure angle) ที่ทำให้สามารถถ่ายแรงพลักให้เกียร์ตัวอื่น (pinion) หมุนตามได้อย่างมีประสิทธิภาพ ต่อเนื่อง ลื่นใหล ความเร็วสม่ำเสมอ และเงียบ โดย pressure angle ที่ใช้กันคือ 14-14.5, 20-25 องศา แล้วแต่ขนาด load ที่ใช้ หากสนใจ เข้าไปหาอ่านใน google เรื่อง spur gears มีไว้มากมาย

การเขียน involute curve ด้วย solidworks สามารถทำได้ 2 วิธีคือ
1 ใช้ สูตรทางคณิตศาสตร์สร้าง โดยคำสั่ง tools > sketch entities > equation driven curve ซึ่งใช้สมการของ involution curve มาคำนวณและ plot
Xt = r*cos(t) + r*t*sin(t)
Yt = r*sin(t) - r*t*cos(t)
r = Base circle/2
t1 = 0, t2 = 0.1 <> 1

2 วิธี manual ผลออกมาเหมือนกัน ใช้ในทางปฏิบัติได้ งั้นมาดูหน้าตา tooth profile ของ spur gear ว่าตรงไหนเรียกอะไร และมีสูตรอะไรบ้างที่ต้องนำใช้ ซึ่งเราจะเริ่มด้วยวิธีนี้ก่อน

Thank You to http://coewww.rutgers.edu/classes/mae/mae488/hw/lectures/gear/gear.htm

สูตรการคำนวณ Spur Gear หน่วย mm.

Thank you to the owner of this table

Thank you to BOSTON GEAR for information

ตัวอย่าง

Spur gear ขนาด M2.5, N20, PA20 (จาก solidworks toolbox)

สูตรที่เลือกมาใช้

--M = gear Module size 2.5

--N = number of tooth 20

--PA = pressure angle 20

--Pc/pitch circle = M*N

--Bc/base circle = Pc*cos(PA)

--Tth/tooth thickness = pi*(M/2)หรือ 1.5708*Pc/N

--OD/outside circle = Pc + 2*M หรือ M*(N+2)

--Rc/root circle = Pc - 2.5*M

--Cl/clearance = Whd - 2 x Adden (adden = M)

--Whd/whole dept = (OD - Rc)/2

--Fl/fillet = 1.52 x Cl (สำหรับ PA 20 องศา)
--Ad/addendum = M

ได้สูตรแล้วมาเริ่มกันเลย > เปิด solidworks > ตั้งหน่วย mm > New > part

Sketch on front plane

ในกรณีหา base circle ที่ไม่ใช้สูตรคำนวณ

1 เขียนวงกลม Pc = M*N = 2.5*20 = 50mm

2 ลากเส้น A horizontal สัมผัส/tangent กับ Pc ยาวพอควร

3 ลากเส้น B ทำมุมกับ A = PA 20

4 เขียนวงกลม สัมผัสเส้น B จะได้ Bc/base circle, dia = 46.98mm(จากการวัด)

หากใช้สูตรหา Bc ก็ไม่ต้องมีเส้น A,B,PA เขียนได้เลย

เอาเป็นว่าเราได้ Bc/base circle, dia 46.98mm มาแล้ว ต่อไปจะสร้าง curve

5 เขียนวงกลม OD/outside circle = Pc + 2*M = 55mm

6 ลากเส้น D ไปชนวงกลม Bc/base circle

7 ลากเส้นตรงระหว่าง 2 จุดให้ dimension = 1.5mm (OD/36)ให้ตัวเลขเต็มๆ

8 ลากเส้นเหมือน D อีก 10-12 เส้น แล้วลากเส้นตรงเชื่อมจุดทั้งหมด แต่ละเส้นยาว = 1.5mm

ตอนนี้เราได้เส้นรัศมีที่มีช่องห่างเท่าๆกันแล้ว ต่อไปต้องสร้างเส้นตรง tangent กันวงกลม base circle ณ.จุดต่างๆดังภาพ พร้อมกับให้ dimension ของแต่ละเส้นด้วย

การกำหนดความยาวของแต่ละเส้น (ซึ่งจะสัมพันธ์กับความยาวของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดของช่องแรก(1.5mm)) 1.5x1,1.5x2,1.5x3,1.5x4,1.5x5,1.5x6,1.5x7 ถ้ามีเส้นเพิ่มอีกก็จะเป็น 1.5x8... หากมีการเปลี่ยนความยาวของเส้นช่องแรก เส้นอื่นๆต้องเปลี่ยนเลขเริ่มต้นไปด้วย เช่นเปลี่ยนเป็น 2 เส้นแรกก็จะ 2x1 ต่อไปก็เป็น 2x2,2x3,2x4....

จากภาพ จะมีทั้งหมด 10 เส้น แต่เส้นแรกจะมองยากเพราะใกล้กับเส้นรอบวงของ base circle มาก

9 ลาก spline เชื่อมต่อจุดปลายทั้งหมด ก็จะเกิดเป็น curve ซึ่งเรียกว่า involute curve

จากภาพจะเห็น cross point ที่ curve ตัดกับวงกลม outside circle นั่นคือทำไม่ที่ระยะห่างของช่อง segment และจำนวนเส้น tangent สามารภเปลี่ยนแปลงได้ตามความต้องการ ขอแค่ให้ curve ไปตัดกับ OD ได้ก็ใช้ได้ แต่ถ้าจำนวนเส้นน้อยไป หรือระยะ segment ห่างไป จุดปลายเส้นก็จะห่างไปด้วย curve ก็จะหยาบ

ได้ Involute curve มาแล้ว

10 ต่อไปเราจะเขียน tooth profile > หาค่า tooth thickness ก่อน
--Tooth thickness = Pc x sin(90/N)= 50 x sine(90/20) = 3.93mm
--ลากเส้นจากจุดตัดระหว่าง spline ตัดกับ Pitch circle ยาว 3.93mm ไปชนกับ Pitch circle อีกด้านหนึ่ง
--ลากเส้นประจากศุนย์กลางวงกลมไปยังจุด midpoint ของเส้น 3.93mm เส้นนี้จะใช้เป็นเส้นกลางสำหรับทำ mirror spline
--Mirror ก็จะได้ตามรูป

11 เขียนวงกลม Rc/root circle = Pc - 2.5*M = 50-(2.5*2.5) = 43.75mm
12 ลากเส้นต่อปลาย curve ทั้ง 2 ปลาย ไปยังศูนย์กลาง

13 ขั้นตอนนี้สำคัญ ต้องดูให้ดีๆว่าเส้นไหนควรเป็น construction lines เพราะจะใช้คำสั่ง trim entities ตัดขึ้นรูป tooth profile มิฉะนั้นอาจ extrude ไม่ได้

14 ทำ fillet

Fl = 1.52 x Cl (สำหรับ PA 20 องศา)

Cl = Whd - 2 x Ad

หา Whd/whole dept = (Outside circle - Root circle)/2
= (55-43.75)/2 = 5.625mm
Fl = 1.52 x (5.62 - 2 x 2.5) = 0.94mm

15 ต้องการ N=20 เราต้องทำ circular pattern รอบจุดศูนย์กลางวงกลม คลิกเลือกเฉพาะ entities ของ fillet ทั้งสองข้าง curve ทั้งสองด้าน และเส้น top ของ profile